2.5. Полярная система координат

Говорят, что на плоскости введена Полярная система координат, если заданы:

1) некоторая точка 0, называемая Полюсом;

2) некоторый луч, исходящий из точки 0 И называемый Полярной осью.

Полярными координатами точки M называются два числа: Полярный радиус и Полярный угол - угол между полярной осью и вектором .

Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты X, Y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:

,

,

Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от до через промежуток .

2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии.

Решение.

1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса С центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углы с полярной осью, где принимает значения от до с шагом . Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем . Результаты вычислений занесем в таблицу:

0

1

0,92

0,7

0,38

0

-0,38

-0,7

-0,92

-1

-0,92

-0,7

-0,38

0

0,38

0,7

0,92

1

0,16

0,17

0,19

0,24

0,33

0,53

1,11

4,16

4,16

1,11

0,53

0,33

0,24

0,19

0,17

0,16

Построим точки () и по полученным точкам построим искомую линию:

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:

.

Отсюда , .

Тогда имеем:

Или после упрощения

.

3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,

Преобразуем его к каноническому виду:

Или

.

Окончательно получим:

,

Где ,. Таким образом, данное уравнение определяет параболу.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!