45. Задача Коши

Множество решений дифференциального уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными. Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение функции и ее производной при фиксированном значении аргумента.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где ‑ заданные числа, называется Задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений:

.

Следовательно, , и искомое решение:

.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!