5.11.6 Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения

Понятие максимума и минимума можно распространить и на функции нескольких переменных (здесь для случая двух переменных).

Определение. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то говорят, что имеет максимум (минимум) в точке .

Теорема. (Необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая имеет экстремум в точке , то обе частные производные функции в этой точке равны нулю.

Точки, в которых обе частные производные функции обращаются в нуль, называются стационарными. Если не ограничиваться рассмотрением только дифференцируемых функций, то необходимое условие экстремума нужно дополнить.

Если имеет экстремум в точке , то:

А) или обе частные производные равны нулю в точке ;

Б) или хотя бы одна из частных производных равна бесконечности или не существует в точке .

В подозрительных точках экстремума может и не быть (сравните с функцией одной переменной).

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Если в критической точке выполняется неравенство , то функция имеет в точке экстремум, причем:

А) если , то минимум;

Б) если , то максимум.

Если , то в точке нет экстремума;

Если , то экстремум может быть и может не быть (нужны дополнительные исследования).

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Частные производные обращаются в нуль в точках и . Других подозрительных на экстремум точек нет.

Найдем вторые производные . В точке имеем , следовательно, в этой точке нет экстремума. В точке , причем , следовательно, в точке функция имеет минимум .

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Решая систему найдем единственную стационарную точку . Других критических точек нет. Находим вторые частные производные . В точке экстремум есть, так как , а поскольку во всех точках, в том числе и в точке , то в этой точке максимум: .

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области . Эти значения функция может принимать в точках экстремума и на границе области . Поэтому нужно найти значения функции в точках, подозрительных на экстремум, и значения на границе , при этом нужно использовать уравнение границы, что позволяет свести задачу к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на отрезке.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения в круге .

Решение. Находим стационарные точки из системы . Получим единственную стационарную точку , сосчитаем . Исследуем поведение функции на границе: выражая из уравнения границы и подставляя в формулу , получим функцию одной переменной . Найдем наименьшее и наибольшее значения полученной функции на отрезке , для чего находим критические точки из условия , и считаем значения , , . Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на границе области: в точках и , в точках .

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной кривыми и .

Решение. Решая систему найдем две стационарные точки и , однако указанной области принадлежит только точка , поэтому находим . Теперь исследуем поведение функции на границе. В отличие от предыдущего примера, граница области состоит не из одной линии, а из двух кривых, заданных разными уравнениями, поэтому нужно отдельно провести исследование на каждой из частей.

На дуге параболы , функция будет зависеть только от одной переменной: . Найдем ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке . Для этого, как обычно, найдем критические точки (точка отброшена, так как она не принадлежит отрезку ) и сосчитаем значение функции в этих точках и на границе: