4.1.2 Вычисление определителя - го порядка

Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть строку и столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .

Пример 3. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента (выделен пунктиром).

Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

, (*)

Где – фиксировано.

Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером .

Вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример 4. Вычислить определитель

Решение.

Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему 1. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному

Применим теорему 1 ко второй строке, т. е. разложим определитель по элементам второй строки. Получим определитель 4-го порядка.

Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой – элементы первой, умноженные на .

Получим .

Разлагая его по элементам второго столбца, получим

.

Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:

.

Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.

Квадратная матрица вида называется диагональной, а квадратные матрицы и называются матрицами треугольного вида.

Пример 5. Вычислить определитель

Решение.

Будем получать нули под главной диагональю.

1-й этап. Берем первую строку и с ее помощью получим нули в первом столбце. Первую строку умножим на и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой. Получим

2-й этап. Работаем со второй строкой и получаем нули во втором столбце. Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей; вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой:

3-й этап. Из четвертой строки вынесем и переставим третью и четвертую строки:

И последний этап.

Третью строку умножим на и прибавим к четвертой:

.

Разлагаем определитель по элементам первого столбца

.

Снова разлагаем определитель D по элементам первого столбца:

.

Действительно, определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

Для самостоятельного решения.

1. Вычислить определители

А) . Ответ: .

Б) . Ответ 10.

Указание: Чтобы уменьшить числа, вычтите какую-нибудь строку из остальных. Эту операцию можно проделать несколько раз. Цель: сделать на каком-нибудь месте единицу.

2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду.

. Ответ: 52.

< Предыдущая		Следующая >