2.2 Базис и координаты на прямой, плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости задан ненулевой вектор , тогда для любого вектора , лежащего на этой же прямой, существует единственное вещественное число , такое, что

, (1)

При этом называют базисным вектором, – координатой относительно базиса .

Если на плоскости заданы два ненулевых, неколлинеарных вектора и , то для любого вектора , лежащего в этой же плоскости, существует единственная пара чисел и , таких, что

, (2)

При этом совокупность , называется базисом, – координатами относительно этого базиса. Подчеркнем, что так как и неколлинеарны, то они линейно независимы.

Если в пространстве заданы три ненулевых, некомпланарных (а, следовательно, линейно независимых) вектора , то для любого вектора существует единственная тройка чисел таких, что

, (3)

При этом совокупность называется базисом, – координатами относительно этого базиса.

Линейные комбинации вида (1), (2), (3) называют разложением вектора по базису.

Объединяя три случая, можно дать следующее определение:

Определение. Коэффициенты линейной комбинации, при помощи которой вектор выражается через базис, называются координатами вектора относительно этого базиса.

Теорема 5. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами.

Введенные базисы на плоскости и в пространстве называют аффинными. Аффинный базис называется декартовым, если он состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Векторы декартова базиса обозначают . Координаты вектора относительно декартова базиса обозначают через .

Определение. Система, состоящая из произвольной точки 0 и векторного аффинного базиса пространства, называется аффинной системой координат этого пространства, точка 0 – начало аффинной системы координат.

Аффинная система координат называется декартовой, если ее векторный базис – декартов.

Определение. Радиус-вектором точки в аффинной или декартовой системе координат называется вектор , где – начало системы координат.

Определение. Координатами точки относительно некоторого базиса называются координаты ее радиус-вектора относительно этого базиса.

Теорема 6. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Пример 9. Заданы векторы и . Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение по базису .

Решение. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. В нашем случае , следовательно, .

Пример 10. Относительно некоторого базиса даны векторы , и . Убедиться, что векторы и можно взять за базис и найти координаты в этом базисе.

Решение. Координаты и не пропорциональны, следовательно, не параллелен , значит, они линейно независимы и их можно принять за базис. Обозначим искомые координаты через и , тогда . По теореме 5 получим систему из которой находим ; .

Пример 11. В декартовом базисе заданы векторы , , и .

1. Найти координаты вектора в базисе .

2. Убедиться, что векторы образуют базис.

3. Найти координаты вектора в базисе и написать разложение по этому базису.

Решение. 1. Вектор является линейной комбинацией векторов , следовательно, или .

2. Базис состоит из линейно независимых векторов, значит линейная комбинация векторов обратится в только если все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Найдем эти коэффициенты из условия , Или . Так как – линейно независимы, то это равенство возможно, если все коэффициенты обратятся в : , следовательно, – линейно независимы и образуют базис.