06.2. Квадратичная форма

Если в билинейной форме j(Х, У) положить У = Х, то получим частный случай билиней­ной формы – квадратичную форму j(Х, Х).

Представив билинейную форму j(Х, У) в виде суммы симметрической и антисимметри­ческой билинейных форм, получим:

.

Отсюда, ясно, что каждой билинейной форме однозначно ставится в соответствие квадратичная форма (ее матрица симметричная), но не наоборот. Т. е., в общем случае, по имеющейся квадратичной форме нельзя однозначно восстановить билинейную форму, из которой она получена. НО …

2°. Для каждой квадратичной формы существует, и при том только одна, симметричная били­нейная форма, из которой получена данная квадратичная форма. (Эта симметричная били­нейная форма Называется полярной к заданной квадратичной форме).

◀ j(Х + У, Х + У) = j(Х, Х) + j(У, Х) + j(Х, У) + j(У, У) если j(Х, У) = j(У, Х), то

j(Х+У, Х+У) = j(Х, Х) + 2j(Х, У) + j(У, У), т. е. j(Х, У) ={j(Х+У, Х+У) – j(Х, Х) – j(У, У)}. ▶

< Предыдущая		Следующая >