06.1. Билинейные и квадратичные формы. Билинейный функционал. Его матрица

Пусть V – линейное вещественное пространство. Если имеется закон, по которому "Х, УÎV Соответствует некоторое aÎR (числовое поле). Т. е. "Х, УÎV ® a = j(Х, У)ÎR такое, что выполняются требования:

– линейность по 1ому аргументу;

– линейность по 2ому аргументу,

То говорят, что в линейном пространстве V Над полем R задан билинейный функцио­нал или билинейная форма j(Х, У).

Пусть – базис в V. Тогда , и тогда

, т. е. , где Аij = j(Еi, еj). Матрица Называется матрицей билиней­ного Функционала (или билинейной формы) в базисе .

Билинейный функционал (форма) Называется симметричным, если "Х, УÎV j(Х, У) = j(У, Х) и Антисимметричным, если "Х, УÎV j(Х, У) = –j(У, Х).

Естественно, что симметричной билинейной форме соответствует симметричная мат­рица (и наоборот), а антисимметричной билинейной форме соответствует кососимметрич­ная матрица (и наоборот).

1°. Всякая билинейная форма может быть представлена в виде суммы симметрической и антисимметрической билинейных форм. Это представление единственно.

◀ . ▶

< Предыдущая		Следующая >