05.5. Преобразования, не изменяющие ранг матрицы

Следующие преобразования не изменяют ранг матрицы:

1) Транспонирование. ◀ При транспонировании определитель не меняется и поэтому, минорам равным нулю будет поставлено в соответствии миноры, равные нулю, а минорам не равным нулю будут соответствовать миноры, не равные нулю (0 « 0 и ù 0 «ù 0). ▶

2) Перестановка двух строк (столбцов). ◀ Любой минор – это полилинейный антисимметричный функционал j(А1, А2, …, Ak, …, Aj, …, Ar) = – j(А1, А2, …, Ak, …, Aj, …, Ar).

Отсюда ясно, что 0 « 0 и ù 0 « ù 0. ▶

3) Умножение всех элементов строки (столбца) на число C ≠ 0 .

◀ j(A1, a2, …, cak, …, ar) = CJ(A1, a2, …, ak , …, ar) Þ 0 « 0 и ù 0 « ù 0. ▶

4) Прибавление ко всем элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). ◀ Не ограничивая общности, можно считать, что к элементам 1й строки прибавляются элементы 2й строки

J(A1+ a2, a2, a3 ,…,Ar) = j(A1, a2, …, ar) + j(A1 a2, a3 ,…, ar) = j(A1, a2,…, ar). ▶

5) Вычеркивание нулевой строки (столбца). ◀ Включение в систему векторов нулевого вектора или выбрасывание нулевого вектора не изменяет dimℒ(A1, a2 ,…, ar). ▶

6) Вычеркивание строки (столбца), являющейся линейной комбинацией остальных.

◀ Достаточно воспользоваться свойствами 3), 4) и 5). ▶

< Предыдущая		Следующая >