04.01. Теория определителей. Линейный функционал

Пусть Vn – N-мерное линейное пространство. Если для любого ХÎVn существует число j(Х)ÎК, где К некоторое числовое поле, то говорят, что на пространстве Vn задан функционал φ со значениями в поле К.

Функционал j(Х) Называется линейным функционалом, если

А) "Х, УÎVn j(Х + У) = j(Х) + j(У) (аддитивность);

Б) "ХÎVn "aÎК j(aХ) = aj(Х) (однородность).

Пусть базис в Vn. Тогда "ХÎVn: Х =Þ j(Х) = j = . Таким образом, чтобы задать линейный функционал в линейном пространстве, достаточно задать величины UI = j(Ei), т. е. каждому линейному функционалу можно поставить в соответствие вектор U = (U1, U2, … , Un) такой, что j(Х) = (X, U) = . Действие функционала j на вектор Х можно трактовать и как умножение матриц j(Х) = (U1, U2, … , Un)(ξ1, ξ2, … , ξn)Т.

Запись линейного функционала в некотором базисе в виде j(Х) = называется линейной формой. Таким образом, линейная форма это запись линейного функционала в некотором базисе.

< Предыдущая		Следующая >