03.6. Связь нормированных и метрических пространств

7°. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя r(Х, У) = ||Х – у||. В самом деле:

◀ А) r(Х, У) = ||Х – у|| = ||(–1)(У – Х) || = |–1| ||У – Х|| = ||У – Х|| = |–1| ||У – Х|| = ||Y – X|| = r(Y, X);

В) r(Х, У) = ||Х – У|| ≥0, причем ||Х – У|| = 0 Û X – Y = θ Û X = Y;

С) r(Х, У) = ||Х – У|| = ||(X – Z) + (Z – Y)|| ≤ ||X – Z|| + ||Z – Y|| = r(Х, Z) + r(Z, У). ▶

Отметим что ||Х|| = r(Х, θ).

Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами:

А) r(Х + Z, У + Z) = r(Х, У) – расстояние не меняется при сдвиге;

В) r(λХ, λУ)= |λ|r(Х, У) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**)

8°. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя ||Х|| = r(Х, θ).

◀ А) ||Х|| = r(Х, θ) ≥0; ||Х|| = r(Х, θ) = 0 Û X = θ;

В) ||λХ|| = r( λХ, θ) = r(λХ, λθ) = |λ|r(Х, θ) = |λ| ||Х||;

С) ||Х – У|| = r(Х + Y, θ) = r(Х + Y – Y, θ – Y) = r(Х,– Y) ≤ r(Х, θ) + r(θ,–Y) =

= r(Х, θ) + |–1|r(Y, θ) = ||Х|| + ||У||. ▶

9°. Линейное пространство со скалярным произведением является нормированным (||Х|| = ) и метрическим (r(Х + Y) = ||Х – У||) пространством. ◀ ▶

< Предыдущая		Следующая >