02.03. Длина вектора. Угол между векторами

А) Неравенство Коши-Буняковского (X, Y)2 £ (X, X)×(Y, Y).

◀ (aX – Y, aX – Y) = a2(X, X) – 2a(X, Y) + (X, Y) ³ 0, т. к. квадратный трехчлен относительно a сохраняет знак, то D £ 0 Þ 4(X, Y)2 – 4(X, X)(Y, Y) £ 0, (X, Y)2 £ (X, X)(Y, Y). ▶

Отметим, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается, если $a такое, что aX = Y, т. е. когда Х и У коллинеарны.

Частные случаи неравенства Коши-Буняковского:

А) , б) .

Длиной вектора Х назовем величину |X| =. (Неравенство Коши-Буняковского тогда запишется так: |(X, Y)|2 £ | X|2×|Y|2).

Расстоянием между двумя векторами Х и У назовем величину

.

Б) Неравенство треугольника: |X + Y| £ | X| + |Y|.

◀ |X + Y|2 = (X + Y, X + Y) = (X, X)2 + 2(X, Y) + (Y, Y)2 = |X|2 + 2(X, Y) + + | Y |2 £ |X|2 + 2|X|×|Y| + | Y|2 = (|X| + |Y|)2. ▶

Углом между векторами Х и У назовем угол jÎ[0, p] такой, что .

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что | cosj | £ 1.

< Предыдущая		Следующая >