01.05. Определение линейного пространства

Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректным образом заданы две операции: одна - внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением и обозначаемая ⊕, другая – внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр и обозначенная ⊙, удовлетворяющие аксиомам:

I. "X, YÎV $ZÎV | Z = X ⊕ Y:

1) X ⊕ Y = Y ⊕ X; 2) (X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z);

3) $qÎV X ⊕ q = q ⊕ X = X; 4) "XÎV $YÎV x ⊕ Y = q.

Эти аксиомы определяют абелеву группу по сложению.

II. "XÎV "aÎK $ZÎV | Z = a ⊙ X:

1) 1ÎK 1 ⊙ X = X; 2) "XÎV "a, bÎK a ⊙ (b ⊙ X) = (a ⊙ b) ⊙ X.

III. Эти операции связаны соотношениями:

1) "a, bÎK "XÎV (a + b) ⊙ X = a ⊙ X ⊕ b ⊙ X;

2) "aÎK "X, YÎV a ⊙ (X ⊙ Y) = a ⊙ X ⊕ a ⊙ Y.

Линейное пространство, заданное над полем вещественных чисел, называется вещественным линейным пространством, а над полем комплексных чисел называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются Векторами.

< Предыдущая		Следующая >