7.3. Исправленный метод Эйлера

В этом методе для повышения точности используется усреднённое значение производной на рассматриваемом отрезке:

В приведённой формуле yi+1 входит в обе части уравнения и не может быть выражено явно. Чтобы обойти эту трудность, в правую часть, вместо yi+1 подставляется значение, рассчитанное по формуле Эйлера(7.4).

Получаем формулу исправленного метода Эйлера:

, (7.7)

Где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;

Xi = a + i×h - координата узла;

У0 = у(х0) - начальное условие.

Погрешность исправленного метода Эйлера dМ = О(h3).

Алгоритм решения ОДУ отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера (рис 7.3) только алгоритмом расчета новой точки (Рис. 7.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.6. Алгоритм расчёта новой точки исправленным методом Эйлера:

 

 

 

 

L1- касательная к у(х) в начальной точке А, с tga0 = f(x0, y0).

Т. В – значение вычисляется по формуле Эйлера.

L2 – касательная к у(х) в точке В, с tga1 = f(x1, ).

L3 – прямая через В со среднеарифметическим углом наклона.

L4 - прямая, паралельная L3, проведенная через точку А.

 

 

Рис. 7.6. Геометрическая иллюстрация исправленного метода Эйлера.

Пример 7.3. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) исправленным методом Эйлера.

Y’ - 2×y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.

Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.

Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.

Рассчет первой точки.

Аналогично можно вычислить значения функции во 2, 3, ... , 10 точках.

Яндекс.Метрика