4.4 Метод Гаусса-Зейделя

В формуле итерационного процесса метода простых итераций (4.6) к моменту вычисления xi(k) уже вычислены значения x1(k),x2(k),...,xi-1(k).

Очевидно, что эти значения в большинстве случаев ближе к решению и их можно использовать для вычисления xi(k). Исходя из этого, Гаусс и Зейдель предложили видоизмененную формулу итерационного процесса

(4.11)

Условие завершения итерационного процесса (4.7) и условия сходимости (4.10) справедливы и для данного метода. Поэтому схема алгоритма Гаусса-Зейделя отлична только формулой расчета нового приближения:

Метод этот, как правило, позволяет достичь требуемой точности ε за меньшее число итераций, т. е. имеет лучшую сходимость.

Достоинства итерационных методов:

1. Погрешность округления не накапливается от итерации к итерации.

2. Число итераций при n>100 обычно меньше n, поэтому общее число действий меньше n3, т. е. меньше, чем в методе исключений Гаусса.

3. Не требуется больший объем памяти.

4. Итерационные методы особенно выгодны для систем с большим количеством нулевых коэффициентов (систем с разряженной итерацией). Методы исключения наоборот: чем больше нулей, тем чаще требуется выбирать новую рабочую строку.

Недостаток - Не всегда можно Обеспечить сходность итерационного процесса. С увеличением размерности системы труднее выполнить линейные преобразования для обеспечения сходимости.

Рис. 4.7. Схема алгоритма метода простых итераций


Яндекс.Метрика