5. Степенная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде степенной:

F(x, a,m) = axm. (3)

При условии, что a>0 и в заданной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (3):

LnF = lna+mlnx.

Введем следующие обозначения u = lnx; A= m; B= lna, тогда lnF будет функцией от u: Ф(u, A,B) = Au+B. Таким образом, нахождение параметров степенной функции мы свели к нахождению параметров линейной функции. Поэтому дальнейшее решение поставленной задачи будет аналогично первому случаю.

Так как частные производные функции Ф(u, A,B) по параметрам А, В: То система (2) примет вид:

Решив систему, получим значения параметров А, В линейной функции Ф(u, A,B). Сделав обратную замену: a = eB, m = A, получим требуемые параметры степенной функции F(x, a,m )= axm.

Пример № 2. Имеем функцию, заданную таблично.

X	2,3	1,56	1,3	1	0,69	0,47	0,38	0,28	0,25	0,19
Y	0,16	0,22	0,28	0,34	0,5	0,81	1,06	1,38	1,81	2,66

Представим функцию графически, чтобы выбрать вид зависимости (рис.1).

Рис. 1

Найдем аппроксимирующую функцию в виде степенной:

F(x, a,m )= axm

Введем следующие обозначения u= lnx; A = m; B = lna, тогда lnF будет функцией от u : Ф(u, A,B) = Au+B.

Решив систему уравнений, мы найдем коэффициенты A, B:

Откуда А = - 0,88, В = 0,49.Сделав обратную замену a = eB, m = A, получим: m = -0,88, a = 1,63. Тогда искомая функция примет вид: F(x, a,m)=1,63x-0.88.

 

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде логарифмической:

F(x, a,b) = a lnx+b.

Так как частные производные функции F(x, a,b) по параметрам a и b равны: , то система (2) примет вид:

Откуда получим:

После элементарных преобразований найдем требуемые параметры.

Пример № 3. Имеем функцию заданную, таблично.

X	0.25	0.5	0.75	1.25	2.75	4.75	6.5	9.67	13.67
Y	-7,75	-5.8	-2.67	1.5	3.5	5.2	7.2	8.5	9.67

Представим функцию графически, чтобы выбрать вид аппроксимирующей функции (рис. 2).

Рис. 2

Найдем аппроксимирующую функцию в виде логарифмической: F(x, a,b) = alnx+b.

Решив систему уравнений, мы найдем коэффициенты а и b:

;

Где n = 9, из первого уравнения: b = 2,15-0,79a, подставив b во второе уравнение системы, получим:85,56 = 21,48a+7,18 откуда а = 3,73 и b = - 0.79.Тогда искомая функция примет вид: F(x, a,b) = 3,73 lnx - 0,79.

Мы рассмотрели частные случаи нахождения аппроксимирующих функций в виде линейной, квадратичной, степенной, логарифмической функций, параметры других функций вычисляются аналогично.

< Предыдущая		Следующая >