3. Интерполяционная формула Лагранжа

Введение

Частным случаем задачи приближения одной функции к другой является интерполяция. Речь пойдет о приближении функции одной переменной. Задачи интерполяции возникают в практике инженера в случае:

− интерполирования табличных данных;

− получения аналитической зависимости по экспериментальным данным;

− замены сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью;

− приближенного дифференцирования и интегрирования;

− численного решения дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Исходная функция у = F(x) задана на отрезке [a, b] в виде таблицы с неравноотстоящими узлами (хi+1 – хi ≠ const). Для аналитической записи этой функции с помощью интерполяционной формулы необходимо выполнение условия, состоящего в том, что исходная функция и заменяющая её функция φn(х) должны совпадать в узлах, то есть необходимо выполнение условия

F(xi) = φn(xi), где ì = 0,n. (1)

Функцию у = F(x) представим в виде полинома степени п:

Ln(х) = а0 + а 1х + а2х2 +... + апхn. (2)

Воспользуемся для этого полиномами, каждый из которых в точке х = хi (i = 0,1…) принимает значение у=1, а во всех остальных узлах x=x0,, x=x1,… , x=xi-1, x=xi+1,…, x=xn обращает y в ноль

Y=y0=y1=…=yi-1, yi+1=…=yn=0.

 

Рис. 1

На рис. 1 изображен полином. Так как искомый полином обращается в 0 в точках, , то он имеет вид , (3)

Где Ci− постоянный коэффициент.

Значение этого коэффициента может быть найдено при x=xi, так как ,

(4)

Откуда

. (5)

Подставляя (5) в (3), получим

. (6)

Степень полинома равна п. Нумерация точек начинается с 0 и заканчивается п, при этом i-я точка выпадает. Полученный полином представляет исходную функцию у = F(x) только в одной точке. Для представления всей таблично заданной функции таких полиномов потребуется п.

. (7)

Рассмотрим частные случаи полинома Лагранжа при п=1; п=2; п=3.

Для п=1 исходная таблица функции будет выглядеть следующим образом:

,

Тогда по формуле (7) имеем

.

Для случая п = 2:

.

Для случая п=3:

.

Рассмотрим конкретный пример. Функция задана таблицей своих значений. Вычислить значение функции в точке 2,5.

Значения функции y= lnx

Х

2

3

4

5

Y= lnx

0,6931

1,0986

1,3863

1,6094

Используем первые три значения в качестве узлов интерполирования, получим:

L2(x)=((x-3)(x-4)/(2-3)(2-4)) 0,6931+((x-2)(x-4)/(3-2)(3-4)) 1,0986+

+ ((x-2)(x-3)/(4-2)(4-3)).1,3863=-0,0589 x+0,7000 x-0,4713;

L2 (2,5)=0,9103.

Полином третьей степени строим по четырём узлам:

Для сравнения укажем, что в четырёхзначных таблицах значение ln2,5 = 0,9139.

Построенный полином Лагранжа совпадает с исходной функцией F(x) в узловых точках, во всех остальных точках Ln(x) представляет функцию F(x) на отрезке [a, b] приближенно. Без вывода запишем формулу, используемую для оценки погрешностей:

(8)

Где - остаточный член или погрешность; - (n+1)–я производная от исходной функции, при этом будем предполагать, что F(x) на отрезке a ≤ x ≤ b изменений х будет иметь все производные до (n+1)-го порядка включительно; точка ,

Рис. 2

Она придаёт максимальное значение функции ; n – степень

Полинома,

.

Оценим погрешность функции, заданной таблицей, выберем степень полинома п = 2, Заданная функция y= lnx. Найдем производную третьего порядка y'=1/x; y''= –1/x2, y'''=1/x3. Очевидно, что максимальное значение y''' получим при x=2: y'''=2/23=1/4.

.

Алгоритм выполнения задания представлен на рис. 2.

Яндекс.Метрика