2. Методы отыскания решений нелинейных уравнений с одним неизвестным

Задача нахождения корней нелинейного уравнения встречается в различных областях научных исследований и актуальна в наши дни. Она часто является элементарным шагом при решении научных и технических задач. Аналитические методы для нахождения корней нелинейных уравнений существуют лишь для отдельных уравнений, например, . Как правило, для нахождения корней используются приближенные методы. Нелинейные уравнения могут быть двух типов: алгебраические и трансцендентные. Уравнения вида называются алгебраическими, уравнения вида – трансцендентными, так как они содержат трансцендентные функции. К ним относят тригонометрические функции , экспоненциальную функцию , логарифмические функции .

В общем случае нелинейные уравнения с одним неизвестным имеют вид

. (1)

Корнем уравнения является всякое число действительное или мнимое, обращающее (1) в тождество.

Корни находятся в два этапа: первый – отделение корней, т. е. нахождение отрезка [a, b], содержащего один корень уравнения; второй – уточнение значения корней на найденных отрезках с заданной точностью .

Если функция непрерывна и принимает на концах отрезка

[a, b] разные знаки, т. е. и сохраняет на этом отрезке знак первой производной, то внутри этого отрезка находится один корень уравнения. Отделение корней можно осуществить различными способами.

Составляют таблицу значений функции на выбранном отрезке изменения аргумента. Для отделения корня необходимо, чтобы на концах выделенного отрезка функция имела разные знаки и была монотонна. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной. От заданной функции найдем и вычислим ее значения на концах отрезка [a, b], если , функция монотонна.

Строят график функции на отрезке изменения x; точка пересечения графика с осью даст нам корень уравнения. Для последующего уточнения корня возьмем окрестности корня и обозначим их [a, b].

Уравнение заменяют равносильным ему , строят два графика и . Абсцисса точки пересечения этих графиков, спроецированная на ось , даст нам отрезок [a, b], внутри которого находится корень уравнения .

Яндекс.Метрика