46. Принятие решений при задании предпочтений в форме отношений

Во многих методах принятия решений для выявления лучшей альтернативы (решения) выполняется попарное сравнение рассматриваемых альтернатив. При этом в результате таких сравнений пытаются выявить превосходство одной альтернативы над другой или их эквивалентность, или несравнимость. Затем результаты попарного сопоставления тем или иным способом обобщаются, и выделяется одна или некоторое множество лучших альтернатив. Поиск решений в таких случаях выполняется с помощью теории отношений.

Все свойства объектов нашего мира можно разделить на два класса: свойства первого класса относятся к отдельным объектам, например, "быть подготовленным к экзамену" (о студенте), "быть дробным" (о числе), "быть зеленым" (о дереве). Свойства второго класса не могут быть отнесены к отдельным объектам, они относятся к двум, трем или большему их числу, например, "быть земляками" (свойство, относящееся к двум или большему числу людей), "быть одинаковыми по величине" (свойство, относящееся к двум или большему числу чисел) и т. д.

Определение. Отношениями называются свойства, относимые к двум или большему числу объектов, ситуаций, альтернатив и т. д.

Отношения, связанные с парами объектов, называют бинарными отношениями, с тройками объектов – тернарными отношениями, с набором из N объектов – N-арными отношениями.

Наряду с качественным определением отношения может быть дано и более точное математическое описание отношения. Поскольку в дальнейшем при решении задач принятия решений будут использоваться в основном только бинарные отношения, то и определим более строго только их.

Пусть A и B – некоторые объекты, тогда через (A, B) обозначим упорядоченную пару. В общем случае (A, B) ¹ (B, A).

Две упорядоченные пары (A, B), (C, D) равны, если A = C, и B = D.

Пусть заданы два множества A и B. Множество D называется декартовым или прямым произведением множеств A и B, если оно состоит из упорядоченных пар элементов, первые элементы которых принадлежат множеству A, а вторые – множеству B:

D = A × B = {(A, B)½A Î A & B Î B}.

Если A = B, то имеет место частный случай декартового произведения множеств – квадрат множества A2 = A × A.

Бинарным отношением b из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения A × B:

B Ì A × B.

Принадлежность пары элементов (A, B) бинарному отношению b или то, что элемент A находится в отношении b с элементом B, в дальнейшем будет обозначаться одним из следующих способов:

(A, B) Î b, A b B.

Если множество A равно множеству B, тогда говорят об отношении b на множестве A.

< Предыдущая		Следующая >