08. Упорядоченные множества. Кортеж

Пусть А И В — произвольные множества. Упорядоченная пара на множествах А и В, обозначаемая записью <A,B>, определяется не только самими элементами АА и BВ, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = B, то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Две упорядоченные пары <A,B>И <c, d>На множествах А И В называют Равными, если А = C и B = D.

Упорядоченную пару <A,B>Не следует связывать с множеством {а, B}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара <а,B> есть неупорядоченная пара {{а}, {а, B}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, B}. При А = B получаем <A,A>= {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или Кортеж. В отличие от конечного множества {a1,...,an} кортеж <a1, ..., аN> на множествах А1, ..., АN Характеризуется не только входящими в него элементами A1А1, ..., аNАN, но и порядком, в котором они перечисляются.

Два кортежа α=<a1, ..., аN>и β=<B1, ..., Bn>На множествах А1, ..., АN Равны, если Ai=Bi, I=.

Число n называется Длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент АI — I-й Проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют Одноименными компонентами. Определение равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. В отличие от множества, кортеж может иметь повторяющиеся элементы, но все эти элементы различны. Компоненты кортежа могут обозначать любые понятия, объекты, в том числе элементы множества или кортежа.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Кортеж, который не содержит компонентов в своем составе, называется Пустым кортежем и обозначается α=<>. Длина этого кортежа равна нулю.

Для любых кортежей α, β, γ справедливы утверждения:

· Если α=β, то β=α

· Если α=β и β = γ, то α= γ

< Предыдущая		Следующая >