09. Бинарные операции над нечеткими множествами

Пусть и – произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме .

Пересечение. Пересечением двух нечетких множеств и будем называть некоторое третье нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

, (2.3)

Операция пересечения нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком . Результат операции пересечения двух нечетких множеств записывается в виде .

Понятно, что результат пересечения Есть наибольшее нечеткое подмножество , Которое содержится одновременно в нечетких множествах и . Операцию пересечения нечетких множеств в смысле (2.3) иногда называют min-пересечением или -пересечением. Соответствующая функция принадлежности пересечения записывается в виде , . При этом знак используется в качестве синонима операции нахождения минимального значения.

Операция min-пересечения нечетких множеств корректна в том смысле, что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств. Действительно, если в качестве нечетких множеств и Взять обычные множества как их частный случай, то определение операции пересечения (2.3) превратится в определение операции пересечения для характеристических функций обычных множеств.

Пример 2.6. Рассмотрим конечное нечеткое множество , которое представляет "небольшое натуральное число" И равно:

И конечное нечеткое множество , Которое представляет "натуральное число, приближенно равное двум" И равно:

Тогда нечеткое множество как результат операции пересечения будет равно:

В этом случае нечеткое множество представляет "небольшое натуральное число, приближенно равное двум".

Результат операции пересечения двух и большего числа нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме , можно изобразить графически в декартовой системе координат на плоскости.

Результат операции пересечения двух бесконечных нечетких множеств и с функциями принадлежностями и приведен на рис. 2.3. При этом каждое из нечетких множеств изображается соответствующей функцией принадлежности, а функция принадлежности результата операции пересечения изображается утолщенной линией.

Рис. 2.3. Графическое изображение операции пересечения множеств и

Отметим следующее свойство выпуклых нечетких множеств. Если нечеткие множества и – выпуклые, то их пересечение также является выпуклым нечетким множеством.

Объединение. Объединением двух нечетких множеств и называется некоторое третье нечеткое множество , заданное на том же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

, . (2.4)

Операция объединения нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком . Результат операции объединения двух нечетких множеств записывается в виде .

Понятно, что объединение есть наименьшее нечеткое множество , которое доминирует одновременно как , так и . Операцию объединения нечетких множеств в смысле (2.4) иногда называют mах-объединением или -объединением. Соответственно функция принадлежности объединения в этом случае записывается в виде , . При этом знак mах используется в качестве синонима операции нахождения максимального значения.

Операция mах-объединения нечетких множеств также корректна в том смысле, что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств. Если в качестве нечетких множеств и взять обычные множества как их частный случай, то определение операции объединения (2.4) превратится в определение операции объединения для характеристических функций обычных множеств.

Пример 2.7. Рассмотрим нечеткое множество , которое представляет "небольшое натуральное число" и равно:

{<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>},

И нечеткое множество , которое представляет "натуральное число, приближенно равное трем", и равно:

{<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.

Тогда нечеткое множество как результат операции объединения будет равно:

{<1,1.0>, <2,1.0>, <3,1.0>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>}.

В этом случае множество представляет "небольшое натуральное число или натуральное число, приближенно равное трем".

Результат операции объединения двух и большего числа нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме , также можно изобразить графически в декартовой системе координат на плоскости.

Для случая объединения двух нечетких множеств , заданных различными функциями принадлежности, результат операции изображен на рис. 2.4.

Разность. Разностью двух нечетких множеств и называется некоторое третье нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

. (2.5)

Рис. 2.4. Графическое изображение операции объединения множеств и

Операция разности двух нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком . Результат операции разности двух нечетких множеств записывается в виде .

Пример 2.8. Рассмотрим нечеткое множество

{<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>},

Представляющее "небольшое натуральное число", и нечеткое множество , которое представляет "натуральное число, приближенно равное трем", и равно:

{<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.

Тогда нечеткое множество как результат операции разности будет равно:

{<1,0.5>,<2,0.2>, <3,0>, <4,0.2>, <5.0.1>, <6,0.1>, <7,0.1>}.

В этом случае нечеткое множество представляет "небольшое натуральное число, не являющееся приближенно равным трем".

Результат выполнения операции разности двух нечетких множеств и , заданных на одном и том же универсуме различными функциями принадлежности, изображен на рис. 2.5.

Симметрическая разность. Операция разности двух нечетких множеств в отличие от операций -объединения и -пересечения не является коммутативной, т. е. в общем случае . Вместе с тем при решении многих практических задач оказывается полезной коммутативная операция Симметрической разности Двух нечетких множеств и (обозначим ее через ). Результатом выполнения этой операции для двух нечетких множеств и является некоторое третье нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле:

. (2.6)

Легко проверить, что , то есть симметрическая разность двух нечетких множеств представляет собой объединение двух разностей нечетких множеств и .

Рис. 2.5. Графическое изображение операции разности нечетких множеств и

Определенные выше операции разности и симметрической разности двух нечетких множеств корректны в том смысле, что они остаются справедливыми для случая обычных множеств.

Пример 2.9. Вновь рассмотрим нечеткое множество

{<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>},

{<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.

Их симметрическая разность будет равна:

={<1,0.5>, <2,0.2>, <3,0.1>, <4,0.2>, <5,0.1>, <6,0.1>, <7,0.1>}.

Результат выполнения операции симметрической разности двух

Нечетких множеств и , заданных на одном и том же универсуме , изображен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Графическое изображение операции симметрической разности нечетких множеств и

Рассмотренные операции над нечеткими множествами обладают следующими фундаментальными свойствами, аналогичными свойствам обычных теоретико-множественных операций.

Пусть и – произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме . Справедливы следующие утверждения.

Коммутативность операций объединения и пересечения нечетких множеств:

; . (2.7)

Ассоциативность Операций объединения и пересечения нечетких множеств:

; . (2.8)

Дистрибутивность Операций объединения и пересечения нечетких множеств относительно друг друга:

;

. (2.9)

Идемпотентность Операций объединения и пересечения нечетких множеств:

; . (2.10)

Поглощение Одного из нечетких множеств при операциях объединения и пересечения:

. (2.11)

Универсальные верхняя и нижняя границы (единичные элементы) операций пересечения и объединения нечетких множеств:

; ; (2.12)

, . (2.13)

Инволюция (двойное дополнение) нечеткого множества:

. (2.14)

Законы Де Моргана:

; . (2.15)

Вместе с тем следует заметить, что для рассматриваемых операции над нечеткими множествами Не Выполняются закон Исключенного третьего И закон Тождества (свойства дополняемости операций пересечения и объединения). А именно в общем случае оказываются справедливыми неравенства:

; (2.16)

. (2.17)

Кроме того, отметим, что для операций min-пересечения и max-объединения нечетких множеств возможны и другие альтернативные способы их определения, корректные в смысле соответствия обычным теоретико-множественным операциям.

Пусть и – произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме .

Алгебраическое пересечение. Алгебраическим пересечением (или Алгебраическим произведением) Двух нечетких множеств и называется некоторое третье нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , Функция принадлежности которого определяется по формуле

. (2.18)

Алгебраическое пересечение двух нечетких множеств и обозначается через .

Пример 2.10. Вернемся к введенным выше нечеткому множеству

{<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>},

И нечеткому множеству

{<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.

Тогда нечеткое множество , Являющееся результатом операции алгебраического пересечения , будет равно:

{<1,0.5>,<2,0.8>,<3,0.9>,<4,0.48>,<5,0.2>,<6,0.02>,<7,0>}.

Результат операции алгебраического пересечения двух бесконечных нечетких множеств и , заданных различными функциями принадлежности, иллюстрируется на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Графическое изображение операции алгебраического пересечения нечетких множеств и

Алгебраическое объединение. Алгебраическим объединением (или Алгебраическим суммой) Двух нечетких множеств и называется нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

. (2.19)

Алгебраическое объединение двух нечетких множеств и обозначается через .

Пример 2.11. Для этих же нечетких множеств и (пример 2.10) результат алгебраического объединения будет равен:

{<1,1>, <2,1>, <3,1>, <4,0.92>, <5,0.7>, <6,0.28>, <7,0.1>}.

Графическая иллюстрация операции алгебраического объединения двух бесконечных нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме , представлена на рис. 2.8.

Операции алгебраического пересечения и алгебраического объединения нечетких множеств обладают лишь некоторыми из свойств, аналогичных свойствам обычных теоретико-множественных операций. При этом справедливы следующие утверждения.

Рис. 2.8. Графическое изображение операции алгебраического объединения нечетких множеств и

Коммутативность Операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:

; . (2.20)

Ассоциативность Операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:

; . (2.21)

Универсальные верхняя и нижняя границы (единичные элементы) операций алгебраического пересечения и объединения нечетких множеств:

(2.22)

, (2.23)

Законы де Моргана:

(2.24)

Однако в общем случае остальные свойства Не выполняются. Справедливы следующие утверждения.

Недистрибутивность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств относительно друг друга:

(2.25)

Неидемпотентность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:

(2.26)

Непоглощение Одного из нечетких множеств при операциях алгебраического объединения и пересечения:

(2.27)

Не выполняются закон Исключенного третьего и закон противоречия:

(2.28)

(2.29)

Продолжим рассмотрение операций над нечеткими множествами.

Граничное пересечение. Граничным пересечением двух нечетких множеств и называется нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле:

(2.30)

Граничное пересечение нечетких множеств обозначается

Пример 2.12. Для приведенных выше нечетких множеств и результат граничного пересечения нечетких множеств и будет равен:

Результат операции граничного пересечения двух бесконечных нечетких множеств и , заданных различными функциями принадлежности, изображен рис. 2.9.

Рис. 2.9. Графическое изображение операции граничного пересечения нечетких множеств и

Граничное объединение. Граничным объединением двух нечетких множеств и называется нечеткое множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

,. (2.31)

Граничное объединение двух нечетких множеств и обозначается через .

Пример 2.13. Результат операции граничного объединения для приведенных выше нечетких множеств и равен:

Графическая иллюстрация операции граничного объединения двух бесконечных нечетких множеств и , заданных различными функциями принадлежности, изображена рис. 2.10.

Рис. 2.10. Графическое изображение операции граничного объединения нечетких множеств и

Операция -Суммы нечетких множеств. -Суммой двух нечетких множеств и называется множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

(2.32)

Где параметр .

Эта операция обозначается через .

Для введенных альтернативных операций над нечеткими множествами справедливо следующее соотношение:

. (2.33)

Эти неравенства означают, что для произвольных нечетких множеств и результат более левой операции всегда будет являться нечетким подмножеством результата более правой операции.

Обобщением операции -Суммы Двух нечетких множеств является операция определения выпуклой комбинации произвольного конечного числа нечетких множеств. Пусть – нечеткие множества, заданные на универсуме , а – неотрицательные действительные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Выпуклой комбинацией нечетких множеств называется нечеткое множество , функция принадлежности которого определяется по формуле

(2.34)

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивной суммой двух нечетких множеств и называется некоторое третье множество , заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по формуле

(2.35)

Эквивалентная запись для определения операции дизъюнктивной суммы имеет вид .

Пример 2.14. Для введенного ранее нечеткого множества:

И нечеткого множества

Результат их дизъюнктивной суммы будет равен:

< Предыдущая		Следующая >