20. Биномиальный закон распределения

Пусть заданы числа N принадлежит N 1). Тогда каждому целому числу из промежутка [0; N] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её b)

B	0	¼	K	¼	N
Р	¼	¼		¼	¼

Будем говорить, что случайная величина b распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в N повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью P.

Рассмотрим отдельное I-Е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид

Определим на этом пространстве случайную величину xI следующим образом:

xI = 1, если происходит событие А;

xI = 0, если происходит событие

Закон распределения случайной величины xI рассматривался в предыдущем параграфе.

XI	1	0
Р	P	Q = 1–P

MX = ×Р; DX = Рq

Для I = 1,2,¼,N получаем систему из N независимых случайных величин xI, имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы распределения двух случайных величин b и , то можно сделать очевидный вывод: b = . Отсюда следует, что для случайной величины b, имеющей закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия определяются формулами

MB = M= = = Np;

DB = D= = = Npq

Найдём оценку величины Р — вероятности успеха в одном испытании некоторого биномиального эксперимента. Для этого проведём N Испытаний и подсчитаем Х – число успехов. Оценку Р* неизвестной величины Р определим формулой Р* = .

Пример.

Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр продукции не отвечает стандарту отношением Р* = 4/20 = 0,2.

Так как Х случайная величина, Р* – тоже случайная величина. Значения Р* могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание Р*? Поскольку Х есть случайная величина, обозначающая число успехов в N испытаниях по схеме Бернулли, МX = Np. Для математического ожидания случайной величины Р* по определению получаем: Mp* = M, но N Здесь является константой, поэтому по свойству математического ожидания

Mp* = 

Таким образом, “в среднем” получается истинное значение Р, чего и следовало ожидать. Это свойство оценки Р* величины Р имеет название: Р* является Несмещённой Оценкой для Р. Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра Р подтверждает целесообразность использования величины Р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.

< Предыдущая		Следующая >