logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Теория вероятностей (Лекции) 07. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

07. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть XСлучайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием MX, которое обозначим буквой A . Произведем выборку объема N. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию S2 по известным формулам.

Случайная величина

Распределена по закону Стьюдента с N – 1 степенями свободы.

Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности G и по числу степеней свободы N – 1 Найти такое число TG , чтобы выполнялось равенство

(2)

Или эквивалентное равенство

(3)

Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра A принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности G , а также от параметров выборки и S.

Чтобы определить значение TG по величине G, равенство (2) преобразуем к виду:

Теперь по таблице для случайной величины T, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 – G и числу степеней свободы N – 1 находим TG . Формула (3) дает ответ поставленной задачи.

Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.

Решение. Величина 1 – G в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: TG = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093´121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

(1943,4; 2056,6).

 
Яндекс.Метрика
Наверх