logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Теория вероятностей (Лекции) 06. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

06. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина X (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия DX = S 2 (S > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема N. Выборка X1, x2,..., xn рассматривается как совокупность N независимых случайных величин, распределенных так же как X (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = MX;

Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = DX;

MX;

DX /N;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину MX через A и подберем по заданной надежности G число D > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P(|A| < D) = G (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = MX = A И дисперсией D = DX /n = S 2/n, получаем:

P(|A| < D) =P(A – d < < A + D) =

=

Осталось подобрать D таким, чтобы выполнялось равенство или .

Для любого G Î[0;1] можно по таблице найти такое число T, что
F( t )= G / 2. Это число T Иногда называют Квантилем.

Теперь из равенства

Определим значение D: .

Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

.

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью G доверительный интервал

Покрывает неизвестный параметр A = MX генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра MX с точностью D=S t / И надежностью g.

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема N = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью G =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение T Из равенства F (T) = G / 2 = 0,495. По полученному значению
T = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) D: D = 2,5´2,58 / » 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

 
Яндекс.Метрика
Наверх