34. Описание биматричных игр

Пусть в биматричной игре игрок 1 имеет m чистых АІ, , а игрок 2 имеет n чистых стратегий ВJ, и в каждой ситуации (Ai, Bj) игрок 1 получает выигрыш aij, а игрок 2 – выигрыш bij. Значение обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц

Поэтому такие игры и называются биматричными. Используют также запись платежных матриц А и В в следующем виде:

А11 b11	.........	A1n b1n
,   ........	.........	........
Am1 bm1	.........	Amn bmn

Где “северо-западное” число в каждой клетке обозначает выигрыш первого игрока, а “юго-восточное” – выигрыш второго игрока.

Смешанные стратегии X и Y, естественно, понимаются как векторы, причем

и .

Выигрыш игроков 1 и 2 при применении смешанных стратегий равны:

Где Т – означает транспонирование, т. е. вектор строка записывается как вектор столбец; - смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно.

Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если

. (5.4)

. (5.5)

Очевидно, что при В = -А биматричная игра превращается в матричную.

В качестве примера рассмотрим биматричную игру «Торг».

Пример. Игра «Торг»

Игрок 1 продает неделимый товар игроку 2. Игрок 1 должен решить, какую назначить цену: высокую или низкую. Для покупателя в принципе приемлемы обе цены. Покупатель не может спорить о цене, он может либо сделать покупку, либо отказаться от нее.

Платежные матрицы игроков имеют вид:

Описание всех возможных ситуаций в этой игре позволяет определить, что ситуация (А1, В1) является оптимальной по Парето и по Нэшу. Ситуация (А2, В2) также является оптимальной по Парето, но не является устойчивой, т. е. оптимальной по Нэшу.

Рассмотрим способ нахождения устойчивых ситуаций для биматричных игр с произвольным количеством чистых стратегий игроков.

< Предыдущая		Следующая >