75. Выражение решения задачи Дирихле через функцию Грина

Опр: Пусть - односвязная область с границей . Функция Грина в есть , где - конформное отображение на , переводящее в .

Утверждение: Если задана непрерывная функция на , то решение задачи Дирихле записывается, как , где - внутренняя нормаль к в точке , и - элемент длины дуги.

Схема доказательства: Пусть существует решение задачи Дирихле в . Тогда - по свойству композиции является гармонической функцией в . Пусть , тогда по теореме о среднем: , где , , - элемент , - элемент . В силу того, что и по геометрическому смыслу модуля производной, получаем: (минус появляется из-за того, что - внутренняя нормаль), тогда : . Отсюда получаем следующее равенство: . При под знаком интеграла и в пределе, получаем: . Утверждение доказано.

< Предыдущая		Следующая >