64. Теорема Римана (общий случай)

Теорема: Пусть - односвязная область, на границе которой существуют две различные точки. Пусть , тогда существует конформное отображение такое, что .

Рассмотрим исключительные случаи: 1) . Не существует гомеоморфизма , так как есть компакт, им не является. 2) . Пусть и - конформное - целая функция и по теореме Лиувилля , но не может дать гомеоморфное отображение. Противоречие. Пусть теперь , тогда - ДЛО такое, что и если то , чего не может быть.

Доказательство: Пусть - континуум, то есть связное и замкнутое множество - дуга от к . И - ДЛО такое, что и ., тогда - жорданова дуга от к (см. рисунок). В области можно выделить непрерывную ветвь функции и (см. рисунок). Пусть симметричная ей точка является внутренней точкой для , и . Отметим, что и построим ДЛО такое, что , тогда перейдет внутрь круга , где - некоторый радиус. , то есть - ограниченная область. По теореме Римана для случая ограниченной области существует конформное отображение . Тогда , где искомое отображение есть - конформное отображение, как композиция конформных отображений. Пусть и , тогда - ДЛО, такое, что и есть требуемое отображение. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >