62. Лемма о раздутии

Лемма: Пусть - односвязная область такая, что . Тогда существует конформное отображение такое, что и .

Доказательство: Так как , то и в силу односвязности - кривая, соединяющая и такая, что (см. рисунок). Пусть . Тогда , , это отображение переводит круг в себя, со смещением центра. Производная: . Кривая соединяет и , , , . Пусть - непрерывная ветвь в области . Эта функция «разворачивает» круг в область, изображенную на втором рисунке (область, закрашенная серым цветом, лежащая в единичном круге). , , где рассматривается та же ветвь корня. , . Пусть . Эта функция переводит единичный круг в себя, переводя точку в ноль, причем и . Тогда искомая функция есть .

Действительно, , , в силу того, что и Лемма доказана.

Яндекс.Метрика