53. Свойство производной однолистной функции

Теорема: Пусть аналитична в области . Тогда однолистна в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда .

Доказательство: Доказательство следует из курса математического анализа. Докажем . Пусть однолистна в и . Рассмотрим функцию , которая аналитична и однолистна в . Имеем: и , откуда следует, что . Построим круг , где - такое, чтоб . Применим к принцип аргумента: . Но осуществляет конформное отображение области на и - замкнутая жорданова кривая, в силу однолистности . Противоречие с принципом аргумента. Следовательно . Теорема доказана.

Яндекс.Метрика