52. Теорема Руше

Теорема: Пусть область ограничена кусочно-гладкой границей и функции и аналитичны в области . Если выполняется неравенство , то функции и имеют в одинаковое число нулей с учетом кратности, то есть .

Доказательство: Из условия следует, что на , т. к. слева стоит неотрицательная величина и строгое неравенство. А также на в силу того, что неравенство строгое. Отсюда следует в силу аналитичности и ограниченности , что эти функции имеют конечное число изолированных нулей внутри . Рассмотрим функцию , которая будет аналитичной в некоторой окрестности . Для этой функции нули являются нулями, а нули являются полюсами.

Таким образом для имеет место принцип аргумента. В силу условия теоремы:, или . Это неравенство означает, что (см. рисунок). В силу этого, приращение аргумента . Отсюда сразу следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Применение этой теоремы: Докажем основную теорему алгебры о том, что многолчен степени имеет ровно корней с учетом кратности.

Доказательство: Многочлены аналитичны на всей .

. То есть все нули многочлена лежат в круге . Пусть теперь . Тогда , следовательно , такой, что эта дробь будет меньше единицы, а это означает, что будет выполняться условие теоремы Руше, где . Функция имеет в круге один корень кратности , а все корни лежат в круге (по построению). Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >