50. Формула логарифмического вычета

Пусть - односвязная область и - кусочно-гладкая жорданова кривая. Пусть задана в некоторой большей области и имеет конечное число нулей и полюсов , лежащих внутри . Тогда аналитична в и неравна нулю в . Рассмотрим функцию в . Для нее - ОТ. Вычислим , пусть - порядок нуля в и - порядок полюса в для функции . Тогда разложение имеет вид: легко видеть, что - ноль порядка для .

Лемма:

Доказательство: , Лемма доказана.

Из леммы следует, что . Покажем, что . Нетрудные преобразования дают: и , где , и отсюда: . Отсюда легко видеть, что . Аналогичными рассуждениями легко показать, что является полюсом порядка для и простым полюсом для , а также то, что . По основной теореме о вычетах: , или более компактно получается Формула логарифмического вычета: , где - суммарный порядок нулей с учетом их кратности, а - суммарный порядок полюсов с учетом их кратности. Заметим, что и . Если точка в не является полюсом или нулем, т. е. аналитична в ней и , то , и тогда верна формула в силу того, что число нулей и полюсов конечно.

Яндекс.Метрика