48. Интеграл по границе неограниченной области

Пусть - область, и , и в аналитичная функция имеет конечное число изолированных ОТ . Тогда аналитична в и непрерывна на .

Утв: Если при , то справедлива формула вычетов:

Доказательство: Пусть величина достаточно велика. Обозначим: , , , . Радиус берем такой, чтоб все полюсы попали в (см. рисунок). . По теореме вычетов для обычной области имеем:, по свойству аддитивности интеграла:По условию стремления к нулю имеем: , это означает, что . В силу произвольности , получаем . Тогда, переходя к пределу, получаем:

Утверждение доказано.

Яндекс.Метрика