39. Поведение функции вблизи особой точки

1) Пусть - изолированная ОТ функции . В случае устранимой ОТ ряд Лорана превращается в ряд Тейлора: - в проколотой окрестности. Пусть . Эта функция аналитична в окрестности , , . Если доопределить , то мы получим функцию, аналитическую в точке . Формально: .

Утв: Если - устранимая ОТ для , то существует конечный предел .

2) В случае полюса -того порядка имеем: . Пусть , тогда - в проколотой окрестности . Функция аналитична в окрестности и . в проколотой окрестности . в силу непрерывности не обращается в нуль в некоторой окрестности .

Утв: Если - полюс для функции , то .

Опр: Порядком функции в точке называется величина , где - коэффициенты лорановского разложения.

1) Случай соответствует случаю существенно особой точки.

2) Случай соответствует случаю полюса.

3) Случай означает, что в некоторой проколотой окрестности точки .

4) Случай означает, что является нулем порядка .

В последнем случае , где .

Утв: Если - нуль порядка для функции , то в некоторой окрестности точки имеет место: , где - аналитическая и в этой окрестности.

Вывод: Нули конечного порядка являются изолированными, т. е. существует проколотая окрестность нуля, в которой функция в ноль не обращается.

Утв: - ноль порядка для тогда и только тогда, когда - полюс порядка для .

Яндекс.Метрика