38. Изолированные особые точки аналитической функции и их классификация

Опр: Точка называется Изолированной особой точкой функции , если определена и аналитична в некоторой проколотой окрестности точки , т. е. такой, что аналитична в .

Пример: не определена в точках . Точка не является изолированной, но является ОТ.

Пусть - изолированная ОТ, тогда аналитична в кольце и следовательно разлагается там в ряд Лорана, т. е. , достаточно близких в имеет место: . Этот ряд называется Лорановским разложением функции в окрестности изолированной ОТ . - Главная часть разложения, - Регулярная часть.

Возможны три случая:

1) , т. е. главная часть отсутствует и тогда называется Устранимой особой точкой.

2) , т. е. в главной части конечное число ненулевых членов и тогда называется полюсом -того порядка, .

3) называется существенно особой точкой, если в главной части лорановского разложения в окрестности этой точки имеется бесконечное число ненулевых членов.

Яндекс.Метрика