37. Теорема Лорана

Теорема: Пусть аналитична в кольце , где . Тогда имеет место разложение, где . Это разложение называется рядом Лорана и он сходится равномерно в .

Доказательство:

1) Покажем, что значение коэффициентов не зависят от выбора . Рассмотрим две окружности и , где . Пусть - кольцо между окружностями и , т. е. . В функция аналитична, т. к. и по теореме Коши . А значит , где черта во втором интеграле означает взятие интеграла в отрицательном направлении. Отсюда следует, что , а значит значения не зависят от .

2) Пусть . Найдем такие, что . Обозначим через окружности радиусов соответственно . Пусть - кольцо между этими окружностями. Функция аналитична в нем и непрерывна вплоть до . По интегральной формуле Коши имеем: .

- комплексный потенциал, являющийся аналитической функцией в . По теореме Тейлора , где . - выражение для комплексного потенциала, следовательно:

, т. к.

Последний ряд есть геометрическая прогрессия, следовательно ряд сходится равномерно и его можно интегрировать.

Сумма дает ряд Лорана. Теорема доказана.


Яндекс.Метрика