37. Теорема Лорана
Теорема: Пусть 
аналитична в кольце 
, где 
. Тогда 
имеет место разложение
, где 
. Это разложение называется рядом Лорана и он сходится равномерно в 
.
Доказательство:
1) Покажем, что значение коэффициентов 
не зависят от выбора 
. Рассмотрим две окружности 
и 
, где 
. Пусть 
- кольцо между окружностями 
и 
, т. е. 
. В функция 
аналитична, т. к. 
и по теореме Коши 
. А значит 
, где черта во втором интеграле означает взятие интеграла в отрицательном направлении. Отсюда следует, что 
, а значит значения не зависят от 
.
2) Пусть 
. Найдем 
такие, что 
. Обозначим через 
окружности радиусов соответственно . Пусть - кольцо между этими окружностями. Функция аналитична в нем и непрерывна вплоть до 
. По интегральной формуле Коши имеем: 
.
- комплексный потенциал, являющийся аналитической функцией в 
. По теореме Тейлора 
, где 
. 
- выражение для комплексного потенциала, следовательно: 
, т. к. 
Последний ряд есть геометрическая прогрессия, следовательно ряд сходится равномерно 
и его можно интегрировать.
Сумма 
дает ряд Лорана. Теорема доказана.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
