25. Интегральная формула Коши

Лемма: Пусть непрерывна в области и точка , тогда , где - окружность.

Доказательство: В силу непрерывности в :

В силу того, что , оценим разность:

Отсюда следует, что . Это означает, что . Так как - число, следовательно, . . Лемма доказана.

Теорема: Пусть - область и, - кусочно-гладкие жордановы кривые, а - аналитична в и непрерывна вплоть до границы , тогда верна формула:

Доказательство: Пусть . Построим круг , , выбрав достаточно малым, чтобы . Положим . - область с кусочно-гладкой границей . Функция аналитична в , так как в . Следовательно, по теореме Коши: Здесь последний интеграл берется по часовой стрелке (область остается слева). Первый интеграл не зависит от . Во втором интеграле поменяем направление и применим лемму: . Теорема доказана.

25. Теорема о среднем

Теорема: Пусть аналитична в и непрерывна вплоть до границы. Тогда .

Доказательство: По интегральной формуле Коши . На границе круга переменная имеет вид . Отсюда получаем:

Теорема доказана.

Яндекс.Метрика