17. Выделение непрерывных ветвей многозначных функций

Опр: Пусть - топологические пространства. - множество всех непустых подмножеств . . Пусть и многозначное отображение: . Тогда непрерывное называется Непрерывной ветвью , если .

Задача: Пусть . На заданном построить непрерывную ветвь отображения , удовлетворяющую начальному условию .

Примеры: 1)

2) (рис. слева) для есть решение, для нет решения. В литературе непрерывная ветвь называется Селектором.

3) (рис. справа) задана на . Главное значение равно .

Сама функция:

 

 

Пусть - жорданова дуга от до такая, что .

Обозначим: - приращение аргумента , когда пробегает по от к . На нижнем рисунке справа в первом случае (сверху) , во втором случае (снизу) Легко проверить, что и .

Пусть - односвязная область в и , тогда в Непрерывная ветвь многозначной функции : . Покажем корректность (рисунок слева):

- отсюда следует корректность определения непрерывной ветви. В случае двусвязной области это уже не верно (рисунок справа).

Верна и такая формула:

.

Аналогично – приращение аргумента частного равно разности приращений аргументов.


Яндекс.Метрика