01. Комплексные числа

Для пары Комплексным числом называется число вида ( называется вещественной частью и обозначается , называется мнимой частью и обозначается ). Данная запись называется Алгебраической формой записи комплексного числа. Элемент i называется Мнимой единицей и обладает свойством: . Каждому комплексному числа в соответствие можно сопоставить пару чисел или вектор с координатами . Свойство элемента i легко вывести из правила умножения комплексных чисел:

Для каждого комплексного числа существует Комплексно-сопряженное число . Легко видеть, что произведение комплексного числа на комплексно-сопряженное к нему в результате дает вещественное число.

Модулем комплексного числа Называется вещественное неотрицательное число, которое задается следующей формулой: .

При изображении комплексного числа на комплексной плоскости, в соответствие ему ставят вектор с координатами :

Легко видеть, что модуль числа Есть длина вектора .

Угол Между положительным направлением вещественной оси и вектором Называется Главной частью аргумента , он обозначается как и принимает значения .

Аргумент коплексного числа есть многозначная функция, заданная следующей формулой: .

Пусть , тогда имеет место равенство:

Предпоследняя и последняя части этой формулы называются соответственно Тригонометрической и экспоненциальной формами записи комплексного числа.

Легко проверить следующие свойства комплексных чисел:

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей множителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов множителей. Модуль частного двух комплексных чисел равен отношению соответствующих модулей, а аргумент частного равен разности аргументов. где число Есть комплексно-сопряженное к .

Следующая >