08.6. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители

 

Если а,,а2,...,а„ - корни многочлена /(х) = а0хп +а1х"~' +—ь + ап_{х+ап, то уравнение (8.9) можно записать так:

Если а и а - сопряженные комплексные корни, то (х-а)(х-а) = = х2 +рх+д, где р и <7 - действительные числа (/> = - (а+а), д = аа).

Предположим, что левая часть уравнения (8.9) разложена на множители вида х — с и х2 + рх+д. Приравнивая нулю каждый множитель, получаем уравнения, каждое из которых является линейным или квадратным. Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.9).

Пример 8.14. Решить уравнение х3-2х-4 = 0.

Разлагаем на множители многочлен в левой части уравнения:

Данное уравнение принимает видИ распадается на два

Уравнения:; первое из них имеет корень, а второе

- два комплексно-сопряженных корня

Пример 8.15. Решить уравнение

Так как

Откуда

Пример 8.16. Решить уравнение

При разложении на множители используется результат примера 8.14. Поскольку

Откуда

Пример 8.17. Решить уравнениеТак как

Откуда

Замечание. Алгебраические уравненияСтепениВ общем

Случае в радикалах не решаются, т. е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые доказал норвежский математик Н. Х Абель. Однако имеются частные виды уравнений любой степени, разрешимые в радикалах (например,). Вопрос о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраическое уравнение решалось в радикалах, исследовал французский математик Э. Галуа.

< Предыдущая		Следующая >