07.4. Действия над комплексными числами

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что

(7.14)

(7.15)

(7-16)

(7.17)

Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженныхчисел Являются действительными числами:

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если

— любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

ПолагаяВ формуле (7.17), получаем

(7.18)

Формулой (7.18) определяется число, обратное комплексному числу

Натуральные степени мнимой единицы < принимают лишь четыре значения: Определяемые формулами

(7.19)

Где

При возведении комплексного числа а = а+ Ы в степень и (я - натуральное число) пользуются формулой бинома Ньютона:

(а+Ы)" = а" + па"-'(Ы)+П дв-2(Ы)2 +

+ —V. а”~\ьО3 + - +(&')"• (7-20)

В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам (7.19) и приводят подобные члены, в результате получают Некоторое комплексное число с+<Л.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу:

Т! а+Ы = и+ы, если (и+п)2 =а+Ьй (7-21)

Числа и и V определяются из равенств

И2 = (о + у1а2+Ь2)/г, V =(-а + 4а2+Ь2 )Д, (7.22)

% *

Причем и и V будут действительными, так как при любых а и Ъ выражения <з + >/<а2 +Ь2 и - а+у! а2 +Ь2 являются положительными. Знаки и и V выбирают так, чтобы выполнялось равенство 2т> = Ь. Извлечение квадратного корня из комплексного числа а+Ы всегда возможно и дает два значения и, + «V,, щ + г»г, различающихся лишь знаком.