1.1. Ряды Фурье. Гармонический анализ периодических функций

Комплекснозначная функция числового аргумента имеет Период , если . Если – период, то его целые кратные – тоже периоды. Наименьший из периодов непостоянной функции называется Основным, остальные кратны ему

Из формулы Эйлера следует, что Экспонента имеет период , если , или . Число называется Частотой, Соответствующей периоду . При , при получается функция, по модулю равная единице, с основным периодом . Это Гармоники С периодом .

Пусть –периодическая функция, допускающая период . Основная задача гармонического анализа состоит в разложении в ряд по гармоникам, имеющим период

(1)

При суммировании ряда (1) обычно группируют слагаемые с противоположными индексами

Где

Если , вещественны и ряд (1) представляет вещественную функцию. В этом случае имеем разложение в Тригонометрической форме

(2)

Если ряд (1) можно интегрировать почленно (что обеспечено, напри-

Мер, в простом случае ), то коэффициенты определяются функцией Однозначно. Действительно, положив и интегрируя почленно, имеем

,

Откуда, учитывая Соотношения ортогональности

, (3)

Получим .

Кроме того, для любой Периодической функции интеграл в не зависит от ; действительно

Числа

(4)

Определены для любой суммируемой функции (т. е.) и называются Коэффициентами Фурье Функции . Для коэффициентов тригонометрического разложения (2) имеем

(5)

Из (4), (5) вытекают такие следствия:

1. Если функция четна, то
.
При этом .

2. Если функция нечетна, то
.
При этом .

3. Если функция имеет период (Натуральное), то отличны от нуля только коэффициенты Фурье с номерами, кратными , так как можно разложить по гармоникам , имеющим период .

4. Если Произвольная Функция на промежутке , то ее разложением в ряд Фурье называется разложение в ряд Фурье ее периоди-

Ческого продолжения, при этом .

5. Разложением в ряд Фурье по косинусам в промежутке называется разложение в ряд Фурье четной, Периодической функции, совпадающей с в промежутке .

6. Разложением в ряд Фурье по синусам в промежутке называется разложение в ряд Фурье нечетной, Периодической функции, совпадающей с в промежутке .

Оценки коэффициентов Фурье
(6).

Отсюда.
Справедлива более сильная
Теорема 1 (Лебег): Для суммируемой функции .

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!