4.2 Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Def 4 (по Коши). Говорят, что предел функции при равен , и пишут , если найдется такая – окрестность точки , что для всех .

Если – конечная точка, то это определение можно записать так: .

Функция , имеющая бесконечный предел при называется бесконечно большой при .

Функция называется бесконечно малой при , если .

Перечислим основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, наиболее важные при практическом вычислении пределов.

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при .

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно больших функций при есть бесконечно большая при .

4. Если при - бесконечно большая, то – бесконечно малая и наоборот: если при бесконечно малая и существует окрестность точки , в которой , то – бесконечно большая при .

5. Если функции и при – бесконечно большие одного знака, то их сумма также является бесконечно большой при .

Если к выражению, предел которого нужно вычислить, возможно применить теорему об арифметических действиях или перечисленные свойства, то вычисление предела трудности не представляет.

В большинстве же случаев непосредственное применение этих теорем невозможно. Такие случаи, в частности, имеют место, если выражение, предел которого нужно найти, представляется в виде:

А. Отношения двух функций, каждая из которых бесконечно малая (в этом случае говорят, что имеет место неопределенность ) или

Б. Отношения двух функций, каждая из которых бесконечно большая (неопределённость )

В. Произведение двух функций, одна из которых бесконечно малая, а другая бесконечно большая (неопределённость )

Г. Разности двух функций, имеющих бесконечные пределы одного знака (неопределённость ).

При вычислении пределов степенно-показательных выражений возникают неопределённости типа , , .

Во всех этих случаях необходимо преобразовать выражение так, чтобы избавиться от неопределенности или свести вопрос к известному пределу. Среди известных пределов наиболее важны два замечательных предела и следствия из них:

I замечательный предел: