40. Примеры решения задач 8

Пример 8.1. На основании следующих данных рассчитать:

Стоимость основных
фондов, млн руб.

38

72

61

15

93

68

60

57

95

14

Производство продукции, млн руб.

309

653

432

95

749

413

305

518

480

75

А) линейный коэффициент корреляции;

Б) коэффициент Фехнера;

В) коэффициенты ранговой корреляции Спирмэна и Кендалла.

Проверить значимость линейного коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента корреляции при доверительной вероятности 0,90.

Решение.

1) В таблице приведены промежуточные результата расчета коэффициента корреляции.

X

Y

1

38

309

–19,2

–93,9

368,64

8817,21

1802,88

2

72

653

14,8

250,1

219,04

62550,01

3701,48

3

60

432

2,8

29,1

7,84

846,81

81,48

4

15

95

–42,2

–307,9

1780,84

94802,41

12993,38

5

93

749

35,8

346,1

1281,64

119785,2

12390,38

6

68

413

10,8

10,1

116,64

102,01

109,08

7

60

305

2,8

–97,9

7,84

9584,41

–274,12

8

57

518

–0,2

115,1

0,04

13248,01

–23,02

9

95

480

37,8

77,1

1428,84

5944,41

2914,38

10

14

75

–43,2

–327,9

1866,24

107518,4

14165,28

Итого

572

4029

7077,6

423198,9

47861,2

Средние арифметические: для признака X =572/10=57,2; для признака Y =4029/10=402,9.

Согласно шкале Чэддока мы можем говорить о существовании Тесной корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2) В таблице приведены промежуточные результата расчета коэффициента Фехнера.

X

Y

1

38

309

–19,2

–93,9

–1

–1

2

72

653

14,8

250,1

1

1

3

60

432

2,8

29,1

1

1

4

15

95

–42,2

–307,9

–1

–1

5

93

749

35,8

346,1

1

1

6

68

413

10,8

10,1

1

1

7

60

305

2,8

–97,9

1

–1

8

57

518

–0,2

115,1

–1

1

9

95

480

37,8

77,1

1

1

10

14

75

–43,2

–327,9

–1

–1

Число пар совпадающих знаков разностей () и () С =8.

Число пар несовпадающих знаков разностей () и () Н=2.

3) В таблице приведены промежуточные результаты расчета коэффициентов ранговой корреляции Спирмэна и Кендалла.

В таблице приведены пары (Xi, Yi), проранжированные в порядке возрастания признака X. Затем вместо значений Xi и Yi используются их ранги Rxi и Ryi.

E Так как значение признака X равное 60 встретилось дважды, поэтому каждому из этих значений приписывают ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров объектов, т. е. (5+6)/2=5,5.

Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмэна равен

4) Для расчета коэффициента ранговой корреляции Кендалла используется только колонка с рангами значений признака Y. Например, Sign(Ry2–Ry1)=Sign(2–1)=1 (ячейка, куда занесено полученное значение, выделена серым цветом). В результате получим

5) Для проверки значимости коэффициента корреляции рассчитаем значение T-критерия Стьюдента

Так как выполняется неравенство (5,1>TКр=2,306), то гипотеза о том, что коэффициент корреляции Rxy=0 отвергается при уровне значимости 0,05. Табличное значение TКр=2,306 было найдено по таблице (см. приложение) при A=1–0,05=0,95 (здесь 0,05 – это заданный уровень значимости) и числе степеней свободы 10–2=8.

6) Для построения доверительного интервала коэффициента корреляции выполним Z-преобразование Фишера

Средняя ошибка величины Z

Доверительный интервал для Z имеет вид [ZT×SZ; Z+T×SZ], Значение T=1,6449 находим по таблице в приложении при доверительной вероятности A=0,90 и числе степеней свободы ¥. Тогда доверительный интервал для Z [1,352–1,6449× 0,378; 1,352+1,6449× 0,378] или [0,7303; 1,974].

Выполнив обратное z-преобразование Rxy=tanh(Z), получим доверительный интервал для коэффициента корреляции Rxy: [tanh(0,7303); tanh(1,974)] или [0,6232; 0,9621].

Пример 8.2. Рассчитайте коэффициент ассоциации Юла-Кендэла и коэффициент контингенции Пирсона между показателями доходов родителей и их детей.

Доходы детей ниже среднего

Доходы детей выше среднего

Доходы родителей ниже среднего

37

28

Доходы родителей выше среднего

12

64

Решение.

Коэффициент ассоциации

Коэффициент контингенции

Таким образом, между доходами родителей и их детей имеется существенная связь.

Пример 8.3. Респонденты в ходе опроса давали ответ на два вопроса. Оцените взаимосвязь полученных ответов на вопросы анкеты.

Решение. На основе приведенной таблицы распределения определим: K1=2, K2=3 – число возможных ответов на первый и второй вопросы соответственно; Mi, Nj – итоговые частоты соответствующего столбца и строки.

Отсюда показатель взаимной сопряженности J 2

.

Тогда коэффициент взаимной сопряженности Пирсона

.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова

Таким образом, в соответствии со шкалой Чэддока можно говорить о существовании заметной связи между ответами респондентов на вопросы.

Пример 8.4. На основании данных примера 8.1: 1) оцените параметры уравнения парной регрессии; 2) оцените достоверность уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации; 3) проверьте гипотезы о значимости параметров уравнения парной регрессии при уровне значимости 0,05; 4) постройте диаграмму рассеяния и линию уравнения парной регрессии; 5) рассчитайте коэффициент эластичности.

Решение.

1) Для оценки параметра A0 найдем среднеквадратическое отклонение признаков X и Y.

Тогда оценки параметров уравнения регрессии

2) Коэффициент детерминации . Таким образом, различия в объемах производства продукции на 76,48% определяются величиной основных фондов предприятия, а на 23,52% – влиянием прочих факторов.

3) Для проверки гипотезы о значимости параметров уравнения парной регрессии рассчитаем значения T-критерия

Табличное значение TКр=2,306 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 10–2=8 (см. таблицу распределения Стьюдента в приложении для A=1–0,05=0,95). Так как неравенство не выполняется, то мы не можем отвергнуть гипотезу о том, что параметр A0=0. Неравенство же выполняется, поэтому мы отвергаем гипотезу, что параметр A1=0. Таким образом, можно сделать вывод, что в данной регрессионной модели значим только параметр A1, и уравнение регрессии должно иметь вид .

4) На рис. 8.3 приведена диаграмма рассеяния для признаков X и Y. На диаграмме рассеяния проведена линия уравнения парной регрессии и указано значение коэффициента детерминации.

Рис. 8.3. Диаграмма рассеяния

5) Коэффициент эластичности равен Таким образом, при увеличении стоимости основных фондов на 1% производство продукции в среднем возрастает на 0,96%.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!