12.01. Дифференцирование функции, заданной неявно

Функциональная зависимость

Является явной, так как закон f прямо указывает каждому значению X Определенное значение Y, которое, в принципе, может быть найдено. Иногда этот закон, связывающий элементы множеств X и Y, имеет совершенно иную природу. Например, можно ли считать, что равенство

(11. 7)

Определяет функцию? При отрицательных a ни для какого x нельзя найти y, удовлетворяющие данному равенству. Если A = 0, то лишь для X = 0 можно указать Y = 0. Пусть теперь A > 0. Тогда возникает другая проблема: для любого находится сразу два значения y:

(11. 8)

Равенство (11.7) поэтому не определяет функцию. Но если ограничимся значениями , то есть

,

То получим функцию, графиком которой является верхняя часть окружности

.

Если в общем случае уравнение

(11. 9)

Задает функцию от аргумента , то говорят о ее неявном задании. Например, равенство

Задает неявно функцию . А задает ли функцию уравнение

,

Так легко сказать нельзя. В дальнейшем будет доказана теорема, определяющая критерий существования функции по ее неявному заданию (11.9). Но даже если (11.9) и задает неявную функцию, то ее дифференцирование может вызвать трудности, так как явное задание для нее не всегда находится просто. Оказывается, эта проблема преодолима: Не отыскивая саму функцию, удается получить ее производную. Для этого необходимо продифференцировать равенство (11.9), полагая y функцией аргумента x. Рассмотрим пример. Найдем , если

Данный пример может быть решен иначе: легко найдется x Как функция от y в явном виде, далее следует определить и по формуле дифференцирования обратной функции найти . Сравните результаты.

Дифференцируя левую и правую части по x, получим:

Отсюда

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!