11.6. Дифференцирование функции, заданной

Дифференцирование функции, заданной gараметрически

Пусть даны два уравнения:

(11. 6)

Где параметр t Изменяется на некотором промежутке Т. Каждому фиксированному значению могут соответствовать одновременно значения x и y. Если при этом соответствие между x и y является функцией , то говорят, что эта функция задана параметрически системой уравнений (11.6). В том, что эта система не всегда задает функцию, можно убедиться на следующем примере. Пусть

Где .

Графически эти уравнения определяют окружность радиуса A с центром в начале координат, так как из соотношений:

Вытекает:

Но окружность не есть график функции. Более того, эта же окружность может быть задана и иначе:

Или же

Возможно и задание данной окружности в виде:

Но здесь параметр t изменяется в других границах.

Если параметр t удается исключить, как это было в случае с окружностью, то от так называемого параметрического задания кривой мы переходим к привычному заданию кривой в виде . Имеет место и обратная процедура. Она оправдана, если уравнения кривой после параметризации получают более простой вид. Например, линия

Называемая АСТРОИДОЙ, в параметрическом виде может быть задана гораздо проще:

Докажите этот факт.

А это позволяет значительно легче построить кривую, изменяя t от 0 до (рис. 11.3). Отметим, что астроида определяет траекторию точки M Окружности радиуса A/4, которая катится по внутренней стороне другой окружности радиуса A.

Рис. 11.3. Астроида.

Далеко не всегда удается из системы уравнений, задающих функцию, исключить параметр t и записать эту функцию в виде . Поэтому возникает вопрос: можно ли для функции, заданной параметрически, найти производную и выразить ее через параметр T?