08.2. Первый замечательный предел

Первый замечательный предел

В математике получено не так уж много результатов, название которых сопровождается такой восторженной оценкой. Однако строгое построение математической теории иногда все-таки допускает эмоциональный всплеск по поводу достигнутого результата. Чем же замечателен предел

,

Который нам предстоит изучить?

Поведение функции

(9. 25)

Легко угадывается для достаточно больших по модулю значений x. Однако при малых по абсолютной величине значениях аргумента предвидеть поведение этой функции трудно: и числитель , и знаменатель x стремятся к 0 при . Даже самые современные ЭВМ, достигнув своего порога возможностей, уже не смогут осуществить вычисление функции (9.25). Мы можем лишь предположить, что близок к 1 или, может, даже равен 1. Не исключено, однако, что этим пределом могло бы быть, к примеру, число 0,9999999993 или же 1,000000002. Непосредственные расчеты просто не позволяют в точности это установить, какими бы мощными вычислительными средствами мы ни располагали. Алгебраическая операция недопустима. Но рассмотреть предельный переход в такой ситуации возможно. Теория пределов характеризует этот случай как раскрытие неопределенности, обозначаемой

.

Существуют еще и другие неопределенности, которые мы изучим в дальнейшем.

Докажем, что

,

Раскрыв при этом указанную неопределенность.

Рис. 9.10. График функции .

 

Функция (рис. 9.10) четна, поэтому доказательство существования предела достаточно провести только для положительных значений x. Рассмотрим дугу BmC единичной окружности (рис. 9.11), соответствующую углу x радиан. Построим и хорду BC. Площадь сектора OBmC больше площади треугольника OBC, но меньше площади треугольника OBA. Используя этот факт, получим:

(9. 26)

Рис. 9.11. Сравнение площадей вспомогательных фигур, используемое для доказательства первого Замечательного предела.

Функции и , входящие в последнее двойное неравенство, являются четными, поэтому оно справедливо для любого . Следовательно, при предел отношения заключен между 1 и .

Докажем, что

(9. 27)

Рассмотрим неравенство

И найдем соответствующую проколотую D–Окрестность нуля:

(9. 28)

Согласно неравенствам (9.26),

Поэтому

Это означает, что значения x, при которых справедливо неравенство

, (9. 29)

Удовлетворяют и неравенствам (9.28).

Еще раз отметим, что нас интересует не точная оценка всех значений x, обеспечивающих выполнение неравенства , а всего лишь факт существования проколотой D–Окрестности, охватывающей, возможно, и не все значения x, при которых это неравенство справедливо. Поэтому, решая более простое неравенство (9.29), получаем

Значит, по любому положительному числу можно выбрать D–Окрестность, полагая, что

Доказан для , измеряемых в радианах. Где этот факт использован при выводе? Каким будет этот предел, если угол измеряется в градусах?

Итак, предел (9.27) существует. Таким образом, по теореме о пределе промежуточной функции, тоже равен 1, что и требовалось доказать.

< Предыдущая		Следующая >