07.2. Понятие предела функции

Понятие предела функции

Теория пределов сочетает в себе кажущуюся порой простоту и неисчерпаемую глубину представлений о мире. Нам предстоит познакомиться с уникальными возможностями этой теории в решении прикладных задач. Проникновение основополагающих идей математического анализа в различные области естествознания и техники поражает воображение многих ученых.

Пусть функция определена на некотором множестве X. Рассмотрим точку a, которая может принадлежать этому множеству или же нет, однако точка a обладает тем свойством, что в любой ее выколотой окрестности , где D > 0 имеются точки из множества X (рис. 9.3). В таком случае говорят, что точка a является предельной точкой множества X.

Рис. 9.3. Предельная точка a и ее окрестность.

Запись x ® a, xÎC означает, что X стремится к предельной точке a. Другими словами, значения x приближаются к a, приобретают значения, все более близкие к a. Это приближение может происходить как слева, так и справа от точки a (рис. 9.3). Какое бы фиксированное значение мы ни взяли, все равно – по свойству плотности действительных чисел – между числом и a всегда будет бесконечное множество чисел. Стремление к a следует понимать как абстракцию Потенциальной осуществимости. Поэтому раз и навсегда указать самое близкое к числу a действительное число Невозможно. Вот почему приближение к числу a приобретает характер процесса, причем Бесконечного.

Как же математически описать этот процесс? Очевидно, надо показать, что значения x будут “стягиваться” к точке a, располагаясь слева и справа от нее или же с одной стороны. Рассмотрим неравенство

(9. 5)

Где D > 0.

Раскрывая его, получим:

(9. 6)

Полученное в ходе преобразований двойное неравенство определяет симметричный относительно точки a интервал . Причем, уменьшение величины D приводит к уменьшению интервала, который сохранит точку a как центральную точку. Стремление x к a может и не сопровождаться симметричным расположением точек x относительно точки a, уменьшение D не обязательно должно отражать конкретный процесс стремления x к a. Важно другое: при стремлении x к a значения x, не равные a, попадают во все более малый интервал с центром в точке a, называемым проколотой D–окрестностью этой точки. Бесконечно близкое приближение к точке a означает наличие в любой ее проколотой D–Окрестности хотя бы одной точки x, отличной от a. Отсюда легко заключить, что в любой проколотой D–Окрестности точки a содержится бесконечно много точек .

Предельный переход определяет поведение функции при х, стремящемся к а. Приближаются ли значения функции , к некоторому значению A, Когда x Стремится к а? Характер такого приближения можно оценить аналогичным способом, введя в рассмотрение E–Окрестность точки А:

Нельзя считать , так как в точке а сама функция может быть и не определена.

В E–Окрестности точки А будем иметь:

(9. 7)

Или

. (9. 8)

Понятие предела определим следующим образом.

Число А называется ПРЕДЕЛОМ ФУНКЦИИ при х, стремящемся к а, если для любого найдется такое число, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнятся неравенство .

Принято обозначение:

На рис. 9.4 указана одна из возможных проколотых D-окрестностей, соответствующая выбранному (она обозначена дугой).

Рис. 9.4. Выбор D-Окрестности по заданной E-Окрестности.

 

Используя логические символы, определение предела можно записать в виде:

(9. 9)

Высказывание

(9. 10)

Предел – – – где мысль одна горит в небесной чистоте. А. С.Пушкин

Получено из предиката трех переменных E, D И х, над которым осуществляются кванторные операции.

Этот предикат, исходя из определения предела, можно записать в виде:

(9. 11)

И представить утверждение (4.10) иначе:

(9. 12)

Высказывания (4.10), (4.12) в равной мере можно считать определением предела.

Вводя определение предела, мы использовали понятия E-Окрестности предельного значения А функции и проколотой D-окрестности предельной точки А. С привлечением этих окрестностей оно может быть записано и в виде:

Довольно часто данное определение называют определением на языке “E–D”.

Вернемся к функции

У = 2х,

Имеющей D( F ) = R, и покажем, что при она стремится к 6 (рис. 4.5). Для этого докажем существование предела

Допустима ли в определении предела замена отдельных знаков строгого неравенства знаками нестрогого неравенства?

Функция Y = 2x определена на всей действительной оси, поэтому всякая проколотая D-окрестность лежит в ее области определения.

Рис. 9.5. Поведение функции у = 2х в окрестности Предельной точки а = 3.

 

Доказательство состоит в том, чтобы показать, как по произвольному положительному числу E найти такое положительное число D, что если только значения х Не будут равны 3 и находиться в промежутке , то значения функции У=2х Удовлетворят неравенству . Иными словами, какой бы ни была Малой окрестность числа 6, размеры которой определяются малостью положительного числа E, всегда найдется достаточно малая окрестность предельной точки а = 3, длина которой задается через положительную величину D, что если х брать из D–Окрестности, то значения функции попадут в E–Окрестность числа 6. Именно поэтому число 6 и будет пределом. Если по любому E удается найти D, то есть указать функцию , то это и означает существование предела

Действительно, из неравенства

Вытекает

Отсюда следует, что если значения аргумента х брать из промежутка

То значения функции у = 2х отклоняются от числа 6 менее чем на . Например, возьмем E = 0,01. Тогда в качестве D можно взять величину или меньше нее (но больше нуля). Пусть это будет D = 0,002. Тогда можно утверждать, что для х из промежутка

2,998 < х < 3,002,

Доказать, что , где с=const.

Значения функции у = 2х будут отличаться от числа 6 менее чем на 0,01. Если, к примеру, х = 3,001, то у (3,001)=6,002 и

|6,002-6| = 0,002 < 0,01,

Что и требовалось показать.

Другой пример. Докажем, что

Функция

Определена для всех действительных значений X за исключением X = -1. Ее графиком является прямая с “выколотой” точкой М(-1;-2) (рис. 9.6).

Рис. 9.6. График функции В окрестности предельной точки .

 

В предельной точке данная функция не определена, однако она имеет предел при , равный –2. Действительно, так как , но , то , имеем:

Это означает, что в качестве величины D может быть взято какое-либо число, меньшее E. Отметим, что достаточно найти Хотя бы одно D, так как в определении предела требуется Существование D, то есть указание хотя бы одного возможного его значения.

Совсем неважно, найдутся ли по величине E и другие значения X, при которых будет выполняться неравенство . Проколотая D–окрестность предельной точки может и не охватывать все значения x этого неравенства. Важно лишь, чтобы Она существовала. Поэтому при доказательстве существования предела величину D чаще всего Не вычисляют точно, а лишь оценивают. В этом можно убедиться на следующем примере.

Доказать: .

Функция G = X2 определена на R. Имеем:

Выполним преобразования:

Если неравенство

(9. 13)

Заменить неравенством

(9. 14)

То, так как

Решение неравенства (9.14) будет и решением неравенства (9.13). Но неравенство (9.14) привлекательнее тем, что его легче разрешить относительно величины , ответственной за длину проколотой D–Окрестности.

Рассматривая (9.14), будем иметь

Полагаем, что

(9. 15)

Тогда

Получаем:

.

Но, согласно (4.15), имеем:

(9. 16)

А потому

И для x из этой проколотой D–окрестности точки х = 1 будет справедливо и неравенство (9.13). Вместе с тем, неравенству (9.13) будут удовлетворять и другие значения x, которые можно определить путем точного решения. Однако для нас они не важны, поскольку мы интересуемся лишь Существованием проколотой D–окрестности, а для этого достаточна даже грубая оценка ее величины, определяющей допустимые размеры окрестности предельной точки.

Рассмотрим высказывание, отрицающее существование предела:

Если воспользоваться определением предела в форме (9.12), то будем иметь:

В преобразованиях, указанных эквиваленцией, использовалась известная тавтология для высказываний В и С:

Таким образом, отрицание существования предела может быть записано в двух эквивалентных формах:

(9. 17)

(9.18)

В качестве примера покажем, что

Для этого необходимо показать справедливость утверждений (9.17) или же (9.18). Рассмотрим для определенности высказывание (9.18):

Наша цель указать хотя бы одно какое-то положительное число , при котором в любой проколотой D-Окрестности предельной точки все равно найдутся (существуют) такие x, что модуль разности функции и этого числа 5 превзойдет E. Действительно, так как расстояние между числом 5 и числом 6 (это число, как доказано, является истинным пределом) равно 1, то в качестве возможного значения E можно взять какую-нибудь величину, меньшую, чем это расстояние (рис. 9.7). Тогда, какой бы ни была проколотая D-Окрестность предельной точки (то есть для ), найдется такое , что будет выполняться неравенство:

Рис. 9.7. Иллюстрация того, что .

 

Это и означает, что .

< Предыдущая		Следующая >