03.03. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой

Опишем аналитически геометрическое место точек, лежащих на прямой, следующим образом. Пусть в системе координат Оху дана прямая (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Задание прямой общим уравнением

Назовем ненулевой вектор , перпендикулярный к ней, нормальным вектором прямой. Будем считать известными координаты точки , лежащей на прямой. Задание нормального вектора И этой точки M0 однозначно определяет положение прямой на плоскости. Пусть  – произвольная точка, лежащая на прямой. Свяжем с точками M0 и M радиус-векторы и . Введем в рассмотрение вектор

.

Для точек прямой и только для них будет выполняться условие:

.

Его мы и положим в основу вывода общего уравнения прямой. Необходимым и достаточным условием взаимной перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

Или

Раскрывая скобки, получим:

(4.9)

Это есть уравнение прямой в векторной форме. Оно включает в себя известные векторы и , а также вектор , который характеризует положение произвольной точки, лежащей на данной прямой. Другие точки плоскости ему удовлетворять не будут.

Так как

То в координатной форме уравнение прямой примет вид:

(4.10)

Или

(4.11)

Где

Уравнение (4.11) называется общим уравнением прямой.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема. Всякой прямой на плоскости соответствует линейное уравнение относительно координат ее точек.

Будет ли справедливо обратное утверждение?

Теорема. Любое уравнение первой степени (4.11) относительно переменных x и y в декартовой прямоугольной системе координат Охy определяет прямую.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть в уравнении (4.11) хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля. В прямоугольной системе координат Оху возьмем какую либо точку , координаты которой удовлетворяют уравнению (4.11)

. (4.12)

Таких пар чисел существует бесконечно много.

Вычитая из уравнения (4.11) равенство (4.12), получим уравнение (4.10), эквивалентное (4.11). Оно означает, как уже известно, равенство нулю скалярного произведения вектора и вектора , что возможно только тогда, когда переменные x и y являются координатами точки прямой. Это и доказывает теорему.

Общее уравнение прямой без труда приводится к виду (4.1), если :

При этом и .

Коэффициенты A и B являются координатами нормального вектора к прямой, а потому они позволяют получить представление о ее расположении на плоскости. Если A = 0 и , то нормальный вектор , а прямая параллельна оси абсцисс. Уравнение такой прямой имеет вид:

Если , , то нормальный вектор и данная прямая параллельна оси ординат. Ее уравнение приобретает вид:

Именно такая прямая не охватывается множеством прямых, определяемых уравнением (4.1).

Рис. 4.5. Нахождение угла между прямыми, заданными общим уравнением.

Найдем угол между двумя прямыми (рис. 4.5), заданными общими уравнениями:

(4.13)

(4.14)

По виду уравнений определяем координаты нормальных векторов данных прямых: , . Угол между двумя данными прямыми будет равен углу между их нормальными векторами, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому решение задачи имеет вид:

. (4.15)

В координатной форме эти выражения записываются следующим образом:

. (4.16)

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы и будут коллинеарны, поэтому

. (4.17)

Это равенство определяет условие параллельности прямых в векторном виде. В координатной форме оно будет следующим:

(4.18)

Если прямые взаимно перпендикулярны, то и соответствующие нормальные векторы также перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов будет равно нулю:

,

Или в координатной форме:

(4.19)

Как расположены прямые, у которых

Очевидно, что если в уравнениях (4.13) и (4.14) имеет место пропорциональность

(4.20)

То они определяют одну и ту же прямую.

< Предыдущая		Следующая >