03.9.3. Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыx Вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма рассто­яний от двух данных точек, называемых фокусами, есть вели­чина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется Эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F1 И F2 по­стоянна (рис. 3.12):

Рис. 3.12

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (Канонической) форме:

Где А и B — полуоси эллипса, B2 = А2 — С2, точка O (0,0) — центр эллипса, С — половина расстояния между фокусами эл­липса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

В частном случае, когда A = B, фокусы эллипса сливаются, т. е. С = 0, и мы имеем окружность радиуса А с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является Эксцентриситет — величина, определяемая отношением

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех то­чек которой модуль разности расстояний от двух данных то­чек, называемых фокусами, есть величина постоянная и мень­шая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F1 и F2, согласно определению, есть величина по­стоянная:

Из этой основной предпосылки выводится Каноническое Урав­нение гиперболы, которое имеет вид

Где B2 = С2 — А2.

Нетрудно видеть, что прямые У = ±Х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси сим­метрии, точка пересечения которых является центром симмет­рии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки ко­торой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой дирек­трисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если R1 = R2. Отсюда и выводится Каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида У = Ах2, где А — постоянное число.

Рис. 3.14

< Предыдущая		Следующая >