4.4. Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов (МНК)

На практике чаще всего применяется другой метод аппроксимации опытных данных – МНК. Сущность метода состоит в том, что опытные данные аппроксимируются кривой , которая необязательно должна проходить через все узлы, а должна сгладить все случайные помехи табличной функции. При этом аппроксимирующую кривую стремятся провести так, чтобы все ее отклонения от табличной функции (отклонения) были минимальными.

,

,

.

Избавимся от знака отклонения: возведем его в квадрат.

.

Для табличных данных, полученных в результате эксперимента, необходимо отыскать аналитическую зависимость кривой , сумма квадратов отклонений которой по всем узлам была бы минимальной.

.

Возьмем интерполяционный многочлен:

.

Для определенности задачи будем выбирать функцию из класса алгебраических многочленов. Степень многочлена .

.

Аппроксимирующий многочлен не проходит через все узлы, поэтому степень многочлена не зависит от количества узлов.

Как правило, в задаче степень аппроксимирующего многочлена задается, при этом всегда .

Если , то задача называется "линейная регрессия".

Если , то задача называется "квадратичная аппроксимация".

Если , то задача называется "кубическая аппроксимация".

Уточним задачу аппроксимации.

Для табличных данных, полученных в результате эксперимента , , необходимо построить аппроксимирующий многочлен , причем , для которого выполняется условие

. (15)

Изменим вид многочлена:

.

Перепишем условие (15):

.

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю ее частных производных:

Дифференцируя по каждой переменной, получаем систему линейных уравнений:

(16)

Порядок системы равен .

, ,

, ,

– коэффициенты аппроксимирующего многочлена (неизвестные).

Решая полученную систему, определяем значения коэффициентов аппроксимирующего многочлена и в результате строим аппроксимирующий многочлен степени .

Для решения полученной системы (16) используем метод Гаусса. Перепишем систему (16):

(17)

, , ,

, ,

– коэффициенты многочлена вида

. (18)

Задача решается в следующем порядке:

1. Задается степень .

2. Строится система (17). Т. к. матрица коэффициентов симметрична относительно главной диагонали, то достаточно определить только наддиагональные элементы.

3. Решается система (17) методом Гаусса и находятся неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена.

4. Строится аппроксимирующий многочлен и определяется его значение в каждом узле.

5. Находится отклонение в каждой точке .

6. Находится сумма квадратов отклонений по всем узлам.

7. Рассчитывается остаточная дисперсия по формуле .

Для построения аппроксимирующего многочлена и вычисления его значений используем рациональную форму многочлена:

. (19)

Для вычисления значения многочлена в рациональной форме (19) удобно пользоваться схемой Горнера. В этом случае рекуррентная формула построения многочлена имеет вид:

, , .

Выбор оптимального варианта аппроксимирующего многочлена, т. е. выбор его оптимальной степени , зависит от того, что мы положим в основу выбора критерия оптимальности. Можно положить в эту основу минимальные значения .

В этом случае поиск оптимальной степени будет вестись в пределах .

Окончательно ответить на вопрос, что должно быть положено в основу выбора критерия оптимальности многочлена, может только практика.

В данном случае это решение задач интерполяции или прогноза и сравнение результатов расчетов с результатами экспериментов.

< Предыдущая		Следующая >