3.13 Кванторы

Предложение «Каждое рациональное число есть действительное число» можно перевести в следующее:

«для любого Х, если Х есть рациональное число, то Х есть действительное число». В этом выражении два предиката:

R(X) – «Х есть рациональное число»;

Q(X) – «Х есть действительное число».

Это можно записать в символической форме:

Для любого Х (всякого Х) R(X) ® Q(X).

Выражение «для любого Х» заменяется специальным символом (Х):

(Х) R(X) ® Q(X).

Этот символ носит название «квантор общности (всеобщности)».

Он используется для сокращения записи, состоящей из большого числа схожих утверждений:

Если фирма А поставляет запчасть В, то В стоит меньше пяти долларов; если фирма А поставляет запчасть С, то С стоит меньше пяти долларов; и т. д.

Эту систему утверждений можно заменить одним утверждением:

«любые запчасти, поставляемые фирмой А, стоят меньше пяти долларов».

Символически это выглядит так:

(Х) А_поставляет (Х) ® стоит_меньше (Х,5).

Квантор управляет всей областью значений переменной, которая следует за ним. Если применяют квантор общности , то утверждение истинно для всех Х из некоторого множества – области определения Х.

В нашем примере два предиката: «запчасти поставляются фирмой А» – А_поставляет (Х) – можно Q(X); «запчасти стоят меньше пяти долларов» – стоит_меньше (Х,5) – S(X,5).

Предикат «Стоит_меньше (Х, у)» – двухместный, вторая переменная имеет конкретное значение У = 5.

В таком виде можно записать и тождество Sin2X + Cos2X = 1,

Или (Х+у)2 = Х2 + 2Ху + У2;

(Х,У Î REAL) (Х+у)2 = Х2 + 2Ху + У2;

(Х Î REAL) Sin2X + Cos2X = 1.

Однако утверждение (Х Î REAL) (Х+у)2 = 4 будет, вообще говоря, неверно, так как оно выполняется совсем не при любом Х, а только при Х = 1 и Х = -3. Для получения истинного утверждения нам нужен другой квантор. Это квантор существования.

Обозначается (ХÎ REAL) (Х+у)2 = 4.

Квантор применяется, когда нужно сказать, что существует хотя бы одно значение переменной, для которого истинно данное утверждение.

Для того, чтобы был смысл говорить об истинности утверждения, все входящие в него переменные должны быть связаны кванторами.

Наш пример можно переписать в виде: (Х) А_поставляет (Х) ® (У) (стоит(Х, у)Меньше(У,5)).

«Для любого Х, если А поставляет Х, найдется такой Y, что Х стоит Y долларов и Y меньше 5».

< Предыдущая		Следующая >